Urodził się w Krakowie i tam ukończył studia w Akademii Muzycznej – kompozycję u Tadeusza Machla i Krzysztofa Pendereckiego oraz dyrygenturę u Henryka Czyża i Krzysztofa Missony. Swoje umiejętności doskonalił w Accademia Chigiana u Franco Ferrary. Jest laureatem czołowych nagród krajowych i międzynarodowych konkursów dyrygenckich: I i II konkursu w Katowicach (I nagroda i nagroda Krytyki Muzycznej), w Sienie (I nagroda) i Budapeszcie (zwycięstwo). Dyryguje orkiestrami w Europie, Azji, Afryce i obu Amerykach, współpracuje z czołowymi orkiestrami i operami w Polsce. Z polskimi orkiestrami odbył wiele tournees koncertowych w Europie. Znajdował się w gronie dyrygentów licznych festiwali, m.in.: Warszawska Jesień, Poznańska Wiosna, Festiwal Flandryjski, Pražske Jaro i Millenium Pace. Współpracując z polskimi orkiestrami radiowymi dokonał wielu nagrań archiwalnych. Regularnie zasiadał w Jury Międzynarodowych Konkursów Dyrygenckich w Katowicach i Białymstoku i wokalnych w Częstochowie.
Dyskografia Jerzego Salwarowskiego zawiera wiele płyt nagranych dla firm zagranicznych: Amreco, Adda, Thorofon – oraz polskich: Tonpress, Selene, Wifon, DUX i Polskie Nagrania. Dla tej ostatniej wytwórni nagrał album płytowy z muzyką G. Gershwina, nagrodzony w 1994 roku „Złotą Płytą”, a w 1999 roku wydany na CD. Dokonał pierwszego kompletnego nagrania poematów symfonicznych Mieczysława Karłowicza, wydanych na CD i nominowanych do nagrody „Fryderyk‘99”. Jerzy Salwarowski nagrał również dwa CD z Toruńską Orkiestrą Kameralną oraz pierwszą w historii Filharmonii Szczecińskiej płytę „Słynne Kaprysy”, która otrzymała nominację do nagrody „Fryderyk‘98”. Wiosną 2002 roku wraz z synem Hubertem nagrał krążek, na którym znalazły się I Koncert fortepianowy d-moll op.15 Johannesa Brahmsa (z towarzyszeniem NOSPR-u) i III Koncert fortepianowy C-dur op.26 Siergieja Prokofiewa (z towarzyszeniem Filharmoników Szczecińskich). Ta płyta otrzymała nominację do nagrody „Fryderyk 2002”. Dla firmy fonograficznej DUX nagrał w 2008 roku , dyrygując Orkiestrą Symfoniczną Filharmonii Narodowej, płytę z Symfonią e-moll „Odrodzenie” op. 7 Mieczysława Karłowicza, która otrzymała znakomite recenzje.
Dyryguje także za granicą: w Paryżu, Madrycie, Barcelonie, Pradze, Bratysławie, Hamburgu, Kairze, Osace, Skopje, Ljublianie, Porto, Luksemburgu, Lukce, Everett (Washington), La Crosse (Wisconsin), Kijowie, Berlinie, Essen, Bergamo, Mediolanie, Walencji i Kopenhadze. Wiosną 2003 roku poprowadził gościnnie wykłady w Towson University Baltimore oraz Central Washington University w Ellensburgu. Od 1999 roku wykłada w Akademii Muzycznej w Poznaniu, gdzie prowadzi klasę dyrygentury. W 2005 roku, z rąk Prezydenta RP, otrzymał nominację profesorską. W 2008 został mianowany profesorem zwyczajnym. W czerwcu 2012, zaproszony do Konserwatorium w Neapolu w ramach programu „Erasmus”, poprowadził tam kursy mistrzowskie. W roku 2011 został odznaczony Medalem Komisji Edukacji Narodowej, a w r. 2013 otrzymał Złoty Medal Za Długoletnią Służbę oraz Nagrodę Rektora I Stopnia. Regularnie (co dwa lata) prowadzi koncerty inaugurujące Rok Akademicki z uczelnianą orkiestrą symfoniczną. W latach 2005-2007 był, po raz drugi, Dyrektorem Artystycznym Toruńskiej Orkiestry Kameralnej, późniejszej Toruńskiej Orkiestry Symfonicznej, z którą w październiku 2006 roku odbył tournee w Anglii. Od 2005 – 2011 roku był Dyrektorem Artystycznym Filharmonii Częstochowskiej, z którą nagrał Suitę Nowoorleańską z jazzowym zespołem Five O’Clock Orchestra oraz wydawnictwo, w którym Filharmonicy Częstochowscy towarzyszyli pianiście jazzowemu Adamowi Makowiczowi (płyta zawiera utwór zadedykowany Częstochowie). W sierpniu 2008 roku, zaproszony przez Narodową Orkiestrę z Rio de Janeiro, dyrygował tam koncert z muzyką Moniuszki, Chopina i Mendelssohna. Jesienią 2009 r. odbył wraz z Częstochowskimi Filharmonikami serię koncertów w Niemczech. W 2008 roku został uhonorowany przez Ministra Kultury i Dziedzictwa Narodowego Bogdana Zdrojewskiego Srebrnym Medalem „Zasłużony Kulturze Gloria Artis”. Zagraniczne występy 2010 r. objęły zarówno sąsiedzką Ukrainę (koncert w Filharmonii w Dniepropietrowsku) jak i egzotyczną Jordanię, w stolicy której dyrygował Orkiestrą Filharmonii Łódzkiej podczas koncertu na zakończenie Roku Chopina. Rok 2011 przyniósł kolejny występ w NOSPR, i koncerty w Niemczech, a 2012 – koncerty na Poznańskiej Wiośnie, w Filharmonii Narodowej, we Lwowie i w Bejrucie. W maju 2013 r. dyrygował Polską Orkiestrą Radiową w Filharmonii Narodowej, a w marcu ub. r. poprowadził orkiestrę Sinfonia Juventus w Studiu im. W. Lutosławskiego w Warszawie. W roku 2014 obchodził jubileusz 45-lecia pracy artystycznej. Z tej okazji otrzymał z rąk Minister Kultury i Dziedzictwa Narodowego prof. Małgorzaty Omilanowskiej Nagrodę za całokształt dorobku artystycznego. Jubileusz został uświetniony serią spektakli opery Nabucco G. Verdiego w Polsce i w Niemczech z zespołem Pro Musica Wrocław oraz wieloma koncertami w polskich orkiestrach, w tym w Filharmonii Narodowej i NOSPR. W 2019 roku Jerzy Salwarowski obchodził 50 -lecie pracy artystycznej, uświetnione koncertami w całej Polsce. Podsumowaniem był koncert w lutym 2020 roku w Filharmonii Narodowej, gdzie zabrzmiała m. in. Szecherezada M. Rimskiego-Korsakowa.
Oprócz działalności koncertowej i dydaktycznej artysta działa na polu edytorskim i naukowym. Właśnie został wydany przez PWM kolejny opracowany przezeń tom – Epizod na Maskaradzie M. Karłowicza, a Akademia Muzyczna w Poznaniu wydała pracę badawczą jego autorstwa pt. Technika dyrygowania w aspekcie różnic stylistycznych.
W roku 2024 przypadnie jubileusz 55 – lecia pracy artystycznej Jerzego Salwarowskiego.